답변 드리겠습니다.

이혼에는 재판상 이혼과 협의이혼이 있습니다.
재판상 이혼은 배우자의 부정한 행위나, 악의로 유기한떄, 부당한 대우를 받을때, 기타 혼인을 계속하기 어려운 중대한 사유가 있을 때에 가능합니다.(민법 제840조)
상담자의 경우 남편이 생활비를 주지 않고 연락도 안되는 경우이므로 악의의 유기의 경우에 해당하여 재판상 이혼이 가능할 듯 합니다.

한편 남편의 사업실패로 인한 부채는 본인의 명의로 채무를 지신 것이 아니라면 본인이 책임을 질 필요는 없습니다. 
또한 귀하의 인감을 몰래 가져가 자기명의로 차를 산 것은 원칙적으로 불법이나 귀하가 후에라도 승낙을 했다면 자동차 할부값에 대해서는 귀하께서도 책임을 지셔야 합니다.
한편 남편분이 진 채무 중 부부의 공동생활을 영위하기 위해 진 채무는 남편명의라 하더라도 일상가사대리권의 범위 내에 해당하므로 이에 대하여는 연대책임을 져야 합니다.
다만 이혼시 재산분할청구권과 위자료 청구권을 행사하는 과정에서 이러한 사안이 참작될 수 있으나 남편에게 자력이 없다면 이러한 방법이 용이하지 않으리라 보여집니다.

자녀들의 양육문제는 당사자간 합의가 되지 않는다면 재판으로서 정해지게 됩니다.(민법 제 837조) 양육권자를 결정하는 기준은 여러 가지가 있으나 남편이 현재 채무때문에 주거가 일정치 않고 자녀의 나이가 모두 어리다면 엄마가 양육권자로 지정될 가능성이 큽니다.

자녀의 양육에 대한 책임은 부모에게 있습니다. 부부의 인연은 끊을 수으나 부모와 자의 인연은 천륜이라고 하여 끊을래야 끊을 수 없는 인연입니다. 현재 경제적으로 많이 힘드신 줄 알겠으나 자녀에 대한 책임에서 벗어나려 하기보다 남편분과 좀 더 나은 방법을 찾아 보시는 것이 어떨런지요. 본인들이 책임을 지려하는 모습을 보일 때 주위분들도 도움을 주실 것입니다.

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